一走進教室，跟學生道了早安，就立即聽到學生們親切熱情的回應「老師早」。筆者首先提出今天的探究主題為七橋問題，並描述問題的情境脈絡：哥尼斯堡(Koenigsberg)為一個德國城市，普雷格爾河(River Pregel)流經此市區，這條河中有兩座小島，由七條橋把河的兩岸和兩個小島連接起來，其中左邊的A島各有一條橋分別與北岸和南岸相連，右邊的B島各有兩條橋分別與北岸和南岸相連，而A島與B島之間有一條橋相連，由於這條河流的兩岸及島上的風光明媚，遊客絡繹不絕，但是哥尼斯堡的居民及遊客在漫步於此美景的同時，發現無法不重複地走遍這七條橋，因此，長久以來，他們心中都有一個共同的疑問，且一直想知道，要如何才能走遍七座橋，而且每座橋只經過一次？
圖 1：七橋問題情境的可觸摸圖形
描述完問題情境後，筆者再將包含此情境的可觸摸圖形（如圖1），交給各組學生，請學生藉由觸摸以感知這個問題的情境脈絡。接著，在小隊輔的協助下，各組在完成觸摸圖形後，筆者再請學生描述一次問題的情境，並詢問其有關情境的細節，例如，A島有幾條橋連接河流的北岸？B島有幾條橋連接河流的南岸？A島與B島之間有幾條橋相連？並請學生用手觸摸圖形，且指出是那些橋。
為讓學生共同體驗此問題的情境脈絡，筆者請各組學生用觸摸圖形的方式，親自走走看，是否能不重複地走遍這七條橋？結果他們的發現是與哥尼斯堡的居民及遊客相同的，即無法不重複地走遍這七條橋。
學生也發現，這種加橋的方式，雖然可以讓居民不重複地走遍這七條橋，但實質上並未能回答，為何只有七條橋時就無法不重複地走遍這七條橋？
為探討此問題，筆者就引入第二個活動，並將另一個可觸摸圖板（如圖2）發給各組，此圖板包括六個圖形，其圖形編號分別為A到F。首先說明這些圖形就是一種網路結構，再分別描述下列各個術語。「節點」：構成網路的點，稱為節點。「弧」：連接節點的路徑，稱為弧。「區域」：由弧所界定的範圍，稱為區域。「奇節點」：關連奇數條弧的節點，稱為奇節點。「偶節點」：關連偶數條弧的節點，稱為偶節點。接著，請學生針對圖A，判斷其中有幾個節點？有幾條弧？有幾個區域？有幾個奇節點？有幾個偶節點？再者，請各組學生用手以觸摸的方式走走看，那些圖形是可以不重複地走遍每一條弧？而那些是不可以的？當筆者提出問題後，不久，學生就很積極地搶答，指出圖A、B、E、F皆可以，而圖C、D是無法不重複地走遍每一條弧的。
圖2：可觸摸圖板
為讓學生體驗這些圖形更細節的差異，筆者先請各組學生針對這六個圖形，分別點數各個圖形的奇節點的個數。接著，請他們回答，這些可以或不可以一次走遍的圖形，其奇節點的個數有何共通之處？在小隊輔的協助之下，他們提出可以一次走遍的圖形，其奇節點的個數不是兩個就是零個，而不可以一次走遍的圖形，其奇節點的個數一定多於兩個。
為將此六個圖形連結上原始的七橋問題，筆者就用類比的方式，向同學指出，這些圖形上連接節點的弧就如同是橋一樣，因此，如果一個節點是奇節點的話，就代表它有奇數條橋連結出去，而偶節點代表偶數條橋連結出去。接著，筆者就向同學提出問題：如何將七橋問題的情境，轉化為類似上述的網路圖形？在小隊輔的協助之下，終於克服困難，最後，學生皆能理解北岸、南岸、A島及B島，都分別代表一個節點。最特別的是，有學生可以主動發現，七橋問題的四個節點皆為奇節點，即七橋問題的情境所構成的圖形（如圖3），其奇節點多於兩個，也就是屬於不能一次走遍的網路圖形。
圖3：七橋問題所轉化成的網路圖形
雖然，有了上述的發現，但學生心中還是有疑問，為何一個網路圖形的奇節點個數一定要是兩個或零個，才能被一次走遍。因此，就繼續安排下一個活動，以探討此問題。首先，針對奇節點的探究活動，筆者用引導的方式，並請小隊輔協助，讓每個學生舉起右手，在握拳的情況下，伸出其中的拇指、食指與中指，其中拳心代表節點，而這三根指頭分別代表三條橋，即此拳心所代表的節點為奇節點。接下來，分成兩部分描述說明。如果此節點為起點，則一開始遊客從拇指走出去，接著，不管在外面如何不重複地走，下次再走進此節點時，不是由食指進，中指出，就是中指進，食指出，即此節點所連結的橋已全部被走遍，若是五條橋時，亦是如此。類似地，如果此奇節點不是起點，當遊客從拇指走入此節點後，就只剩下兩條橋，因此，遊客不管從食指或中指走出去，剩下的一條橋，必留作最後要走的橋，因為，只要再走入此節點，就無橋可不重複地走了，所以可推論出，此節點若不是起點，則其必為終點。
其次，針對偶節點的探究活動，類似地，伸出四根指頭，亦可推論出，1.若網路圖形有兩個奇節點時，則此偶節點就扮演遊客旅程中途經過的節點。2.若網路圖形無奇節點時，則此偶節點就是遊客旅程的起點也是遊客旅程的終點。再者，根據起點、終點的唯一性，可推知若奇節點超過兩個，就不可能被一次走遍。基於上述活動的推論，學生最終發現了七橋問題為何無法被一次走遍，也可以很高興地解決了哥尼斯堡的居民及諸多遊客的共同疑惑。
對於此項視障生的數學探究活動，筆者有下列一些心得，在此提出來與關心視障數學教育的讀者們分享。
1)提供合適的情境脈絡於探究活動中，脈絡可引發學生積極地融入要探究的問題情境中，並可協助視障生建構其腦中的圖像。而七橋問題是數學史中的經典問題，在學生參與此項探究活動後，藉由推論所得到的結果，就像歷史重演一般，不僅讓學生體會到此問題的脈絡，而且，學生在藉由合適的推論以解決此問題的活動過程中，獲得問題解決的成就感。因此，筆者建議在設計視障生的數學教案時，可參考數學史，並從其中找出合適的主題內容加以裁剪改編。
2)善用聲音及教具的輔助，不僅可以描述問題的脈絡情境，而且可以促進師生及小組間的互動。例如，在活動過程中，請學生描述情境的關鍵事項，或請學生以說明的方式，進行推論或提出質疑。
3)協助學生藉由觸覺以感知圖形的結構並進行推理，並善用肢體語言以進行更複雜、細膩的表徵。例如，在上述活動中，用拳心代表節點，而各個指頭分別代表此節點所連結的橋樑。
4)自製教具的重要性，教具可以協助學生達成讓問題脈絡具象化。例如，在本探究活動中所採用的教具，是以pp塑膠瓦楞板為底，並裁剪中國結的繩子做為橋樑及河岸，並將兩小塊厚紙板裁剪為橢圓形充作兩個小島，再用南寶樹脂一一黏上，類似地，包括六個圖形的可觸摸圖板，也是用此作法完成。
5)教學活動進行以小組合作的探究活動為宜。學生以2-3人為一小組為佳，藉由小組組員動手操作後，其中有很多感知經驗的分享、互動與合作，藉由這些以語言表達思維的川流，可以促進學生的批判思考、合理的推論及問題解決等高階認知功能的發展。
最後，在此次的冬令營的視障教學活動中，除了要感謝小隊輔及志工的幫忙外，更要感謝的是，普立爾文教基金會對視障生積極地關懷、細密地協助及啟發。
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